Berechnung eines Netzwerkes mit Knoten und Maschen

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Zunächst, persönlich halte von solchen Aufgaben nix, da sie kaum zum Verständnis der Elektrotechnik beitragen und viel mehr Mathematik Aufgaben sind, das elektrotechnische Verständnis kaum fördern, sondern falls es an der Mathematik klemmt nur frustrieren und das Gegenteil bewirken.

Was mich ganz besonders an solchen Aufgaben stört, sie basieren nicht darauf sie nach klaren Verfahren zu lösen, sondern nur rein durch elektrotechnische Überlegung an welcher Stelle vereinfacht werden kann. Ich kann die folgende Schaltung auch rein durch Überlegung über Vereinfachung lösen, in dem man weiß, was man vereinfachen kann und vereinfachen darf. Um diese Schaltung zu lösen brauche ich wenn ich will höchstens zwei Minuten, sie richtig zu rechnen jedoch eine gute Stunde!

Was will ich damit sagen? Diese Aufgabe wurde extra so konstruiert, dass man sie schon fast im Kopf lösen kann, wenn man das Netzwerk geistig vereinfacht durch Parallel- und Serienschaltungen der Einzelwiderstände, das soll das Lernziel des ursprünglichen Authors sein. Jetzt stelle ich aber die blöde Frage "was ist wenn es eine Schaltung ist, bei deren Aufbau eine geistige Vereinfachbarkeit nicht möglich ist?" Dann stehen genau diese Herren, die immer der Ansicht sind "Fangaufgaben" den Anfängern stellen zu müssen ganz schön blöde da, man kann sie nämlich nur durch berechnen lösen.

Jetzt wollen wir sie mal rechnen, dazu gibt es mehre Verfahren wie die Knoten- und Maschengleichungen hinterher aufzulösen sind. Die eleganteste ist sicherlich der Weg lineare Gleichungssysteme über Matrizen zu lösen, wobei ich da aber schon wieder ein Buch dazu herauskramen müßte wie es zu Fuß zu rechnen ist. Der HP 48 Rechner z.B. kann bei Zahlenwerten genau diese Matrizen verarbeiten und spuckt dann wunderbar alle Ströme und Spannungen als Matrix aus - bequemer geht es nicht.

Um es vorweg zu nehmen, seit dem Studium habe ich das Lösen von solchen "Sinnlos" Netzwerken nicht mehr gemacht, noch nie gebraucht, obwohl ich wirklich täglich übelste Elektronik mache. In der Realität reichen Netzwerke der Größe von zwei drei Maschen völlig aus, bei allem was darüber hinausgeht versagen sowieso meist die Ansätze zur Modellierung des Systems.  Man darf solche Aufgaben nicht als Übungen zur Elektrotechnik betrachten, sondern als reine Übungsaufgaben zur Mathematik und dem Lösen von linearen Gleichungssystemen, mehr ist das nicht.

Zöum Lösen von linearen Gleichungssytemen, da kann der Mathematiker viel mehr darüber sagen wie ich, man dann diese unterteilen nach Anzahl der bekannten und unbekannten Variablen und Gleichungen, überbestimmte Systemen und nach allem möglichem, die Herren der Mathematik haben diese Angelegenheiten vollends im Griff - ich brauch es nicht zu wissen, fall ich es doch mal für eine elektrotechnische Aufbage unbedingt sehr genau wissen muss, dafür gibt es Mathematik Bücher, alles andere ist für mich persönlich Zeitverschwendung, Zeiten in denen ich eine Schaltung machen kann.

Solche "Fangaufgaben" per Knoten- und Maschenregeln mit anschließender Gleichungseliminierung zu lösen betrachte ich als eine Strafarbeit, die ich mir jetzt aber mal an tun werde und erhalte dafür als Belohnung allgemeingültige Gleichungen, in die man U und R einsetzen kann.

Bei Schaltungen, bei denen Birnchen anstatt Widerstände eingezeichnet sind ist schon mal Vorsicht angesagt, die Steigerung ist dann immer noch die Tatsache wenn auf den Knoten die Lötpunkte fehlen (bei der mir zugesandten Schaltung fehlten die, nur kann ich das so nicht nachmalen - das geht nicht - wäre ein Prinzipien Bruch, die Birnchen zu malen, dazu konnte man mich hier überreden, obwohl ein Widerstandssymbol besser wäre. In aller Regel ist es so, wer in Schaltungen die Punkte an den Knoten nicht einzeichnet - vergiss die diese Schaltungen - es sind die Erfahrungen, die man damit schon gemacht hat und diese Worte auf's Papier bringen.

Aufgabe: eine Betriebsspannung von 9 Volt, alle Widerstände gleicher Widerstandswert mit 100 Ohm, berechen alle Ströme und Spannungen.

Zunöchst sollte man sich das Gebilde so umzeichen, dass man es besser versteht, das soll jeder so machen wie er will. Dann Anwendung der Knoten- und Maschenregeln. Die folgenden Blätter habe ich frei ohne sonderlich zu überlegen hingeschrieben. Wenn man jeden Schritt hinschreibt, vermindert sich die Gefahr von Flüchtigkeitsfehlern.

Sorry dummerweise, habe ich die Rechnung mit einem dünnen Bleistift gemacht, was zu schlechten Scans führt, es aber noch mal abschreiben mit dickem Stift will ich nicht mehr - Du musst es sowieso selber noch rechnen.

Die Buchstaben A, B, C und D sind die Stromknoten des Netzwerks, normalerweise reicht es n-1 Knoten zu nehmen, der überbestimmte Knoten fliegt sowieso später immer raus. Aber nicht schlimm, es ist mathematisch nicht falsch ihn drinzulassen.

Die römischen Zahlen I. bis IV bezeichnen die Spannungsmaschen. Es sind jeweils die Kernmaschen anzuwenden (engste Maschen).

Ganz bewußt wurde hier die Spannungsmasche III in der Berechnung drin gelassen, um zu zeigen dass selbst wenn man diese schwachsinnige Kurzschlußmasche mathematisch drin läßt, es noch richtig ist mit ihr zu rechnen, sie fällt später von alleine raus, wenn man stur ohne zu denken rechnet. Diese Kurzschlußmasche zu erkennen und zu eliminieren wäre der erste Ansatz beim Lösen der Aufgabe nach der Methode der "geistigen Überlegung nach Vereinfachungen". Das Rechen mit Knoten- und Maschen ist idiotensicher und funktioniert immer, klappt auch Nachts um Halb vier in halbwachem Zustand, allerdings bei Netzwerken mit so vielen Elemtenen wie in dieser Schaltung ist es eine Strafarbeit und normalerweise eine Arbeit für einen Computer.